30 de julho de 2009

Proporções - Teoria e exercícios

Proporção
A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6:3::8:4. Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se:
Nesse caso, a, b, c e d são chamados de termos da proporção.

Exemplo:
Consideremos os números 6, 8, 9, 12, vemos que a razão do primeiro para o segundo (6 : 8) e a razão do terceiro para o quarto (9 : 12) são iguais. Logo, pode-se escrever:
Diz-se nesse caso, que os números 6, 8, 9, 12, nessa ordem, formam uma proporção. Daí percebe-se que proporção é a igualdade de duas razões.
Os números 6, 8, 9, 12 são chamados termos da proporção, onde o primeiro e o quarto termos chamam-se extremos; o segundo e o terceiro meios.

Propriedade fundamental das proporções
Nas razões iguais, o produto dos extremos deve ser igual ao produto dos meios ou vice-versa. Ou seja,


Resolução de uma proporção quando um dos termos é desconhecido
Resolver uma proporção é determinar o valor de X (termo desconhecido) para o qual a igualdade é verdadeira.


Algumas observações:
1. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo) termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto) termo. Assim,



2. Em toda proporção, a soma do antecedente está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente. Assim,



1) Sabendo que os números 6,24, 5 e o X formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de X.

2) Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m² de área?

3) A soma de dois números é 55. O maior deles está para 07 assim como o menor está para 04. Quais são esses dois números?

4) Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?


5) Tenho 20 anos e 1,80 m de altura.
a) Quando dobrar minha idade, passando a ter 40 anos, terei dobrado também minha altura?
b) As grandezas idade e altura formam uma proporção?

6) Laura vai a pé para escola. A cada quatro passos que dá, percorre três metros.
a) As grandezas número de passos e distância formam uma proporção? Por quê?
b) Quantos metros Laura terá andado após dar 40 passos?
c) Para que percorra 120 m, que é a distância até a escola, quantos passos Laura precisa dar?

7) As medidas do desenho foram ampliadas proporcionalmente. Quanto é a altura do barco maior?

8) Veja a seguinte receita e resolva o problema a seguir:

PUDIM DE CHOCOLATE
INGREDIENTES:
1 colher sopa de manteiga
4 gemas
6 colheres de sopa de chocolate
1 lata de leite condensado (400 g)
1 copo de leite (300ml)

PREPARO:
Bater ligeiramente no liquidificador todos os ingredientes.
Cozinhar em banho-maria na forma caramelada por 50 minutos.
Levar ao refrigerador.
Desenformar na hora de servir.
Observação: receita para 12 porções

PROBLEMA:
Estamos programando um churrasco para domingo, cuja sobremesa será pudim de chocolate. Foram convidadas 12 pessoas.
Na sexta-feira fomos avisados que viriam 30 convidados.
· Faça uma lista dos ingredientes necessários para fazer sobremesa para todos.
· Quantos pudins seriam necessários?
· Haveria repetição para alguns convidados? Quantos?
Comparar as quantidades de cada ingrediente da receita dada com a nova receita. O que pode ser observado? Há alguma relação entre estes valores? Ela pode ser escrita em forma de fração?
Caso não tenhamos sido avisados, o que fazer se vierem 18 convidados e quisermos servir sobremesa para todos, tendo apenas um pudim? Que fração do pudim representaria cada pedaço.
Calcular a quantidade de cada ingrediente para fazer um pudim maior que servisse 18 pessoas com porções idênticas à receita original.


43 comentários:

  1. como se acha o termo desconheçido de uma proporção ???

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    1. por exemplo:
      1/3 = 2/X X= 3x2/1= 6/1= 6

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  2. Respondendo Anônimo : é muito fácil , observe o exemplo :
    2 6
    X
    4 x

    Duas vezes x é 2x e seis vezes quatro é 24
    Portanto :
    2x = 24
    x = 24:2
    x = 12
    - FIM -
    é assim que se resolve ; V.M

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  3. alguem pode resolver essa conta pra mim nao entendi e nao consigo o,5
    ___
    2 = 2x
    ___ __

    3 3

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  4. Po e muito facil to estudando isso agora agradeço a esse site que me ajudou ! :* beijocas e obrigada por ter feito este site ! ;D

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  5. EU odeio matemática !

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  6. haaam eu qroo saber as respostas para ver se eu acertei as atividades será q alguem podia postar? hje???

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  7. como resolvo um quarto em uma planta, com escala 1:200, por um quadrado de 1,5 cm de lado. qual area real em metro

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    1. como a escala é de 1 cm para 200 cm entao 1,5cm de lado corresponde a 300cm que é referente a 3m de lado . como a área do quadrado é lado vezes lado logo 3 vezes 3 é igual a 9 metros quadrados

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  8. Eu sou fera em matematica, eu sou da 8ª serie e tiro primeiro lugar desda 5ª!
    Hahahaha

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    1. Que lindo. E os namoradinhos?

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    2. Transar que é bom....

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  9. se 2/3 de um numero e igual a10, quanto sera 8/15 desse numero?

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    1. se 2/3x=10 então x=15 sendo 8/5.x=z logo 8/5.15=z * 8.15=5z * 120=5z * 120/5=z *z=24

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  10. eu quero resolcer carias contas dee matematica queria saber um site que resolvesse varias contas de matematicas !!! estou presisando urgente

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  11. POXA ESTOU ESTUDANDO PARA CONCURSO E EU GOSTARIA DESSAS RESPOSTAS DOS EXERCICIOS, ALGUÉM PODERIA MIM AJUDAR?

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  12. era bom se tivesse um site que agente fazesse as perguntas de matematica e ele dessem a resposta com calculo e resultado final ai eu pegava as respostas certinhas e a professora ia dizer que eu era a menina mais inteligente da sala massa pena que ainda nao tem esse site tomara que tenha

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    1. vc eh um tipo d garota q soh encontra no lesadaseidiotas.com

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  13. que idiotice e a matematica

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    1. tenho certeza que nao e nao tha indiota e vc seu retardado

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  14. bah isso não tem nadaa

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  15. q porra essa matematica

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  16. êita!!! que bom que existe a matemática,é uma pena que existe tanta gente burra...se não fosse a matemática o que seria de nos sem a net...

    brigadooooooooo matemáticos...

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    1. matematica eh uma ......
      prefiro naum comentar!
      !!!!!!!!!!!!!!!

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  17. os cauculos sao muito faceis tenho apenas 12 anos e consigo responder td e vcs que nao gostam da met. é pq vcs nao sabem mat. pq se soubessem nao taria criticando Toma vergonha e vai estudar povo e em pessoas em concurso nao sabe resolver Affz ¬¬' concordo que deveria ter as respostas pra gente corrigir mas nao tem entao confie nas suas ... bjs e estudem

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  18. kade as resposta o povo nem sabe criar site nao coloca as respostas como querem que a gente acerte sem as resposta seu criador do site seu bocô

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  19. resposta do primeiro igual a 20
    e o terceiro é 525
    e o resto é fácil nao precisa de resposta essa foi amenina de 12 anos que respondeu eta td certo quem achar isso ta certo pq: 6/20=5/x que da 6x=120 quer é x=20 e o terceiro vcs fazem por logica neh povo nem precisa bjs

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  20. Alguém, pode dizer as respostas!

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  21. eu faço essa merda e minha professora so fala ta certo ela nem olha a merda.

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  22. pode colocar as respostas por favor

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  23. Nossa adorei, mas faltou algumas explicações. Questoes para tirar as nossa duvidas.

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  24. Não consigo resolver essa questão, por favor me explique:
    3x/5=x+3/15

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  25. x 1
    - = -
    1 6
    -
    3
    como resolvo????

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  26. cadê as respostas dos exercícios postados nessa matéria? quero saber se minhas respostas estão certas !!!

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  27. alguem pode me ajudar aqui ho :
    x+1 = 2x-1
    4 3

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  28. Como resolvo isto aki:
    1/x-2 = 3/x+4

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    1. 3 . ( x - 2) = 1 .(x + 4)
      3x - 6 = x + 4
      3x - x = 4 + 6
      2x = 10
      x = 10/2
      x = 5

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  29. matematica e uma porcaria se nao tivesse nao taria de recuperaçaooo

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  30. muito ruim esse conteudo

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  31. alguem pode resolver
    0,06:0,025: 0,18:x ?

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