Proporções - Teoria e exercícios

Proporção

A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6:3::8:4. Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se:

Nesse caso, a, b, c e d são chamados de termos da proporção.

Exemplo:
Consideremos os números 6, 8, 9, 12, vemos que a razão do primeiro para o segundo (6 : 8) e a razão do terceiro para o quarto (9 : 12) são iguais. Logo, pode-se escrever:

Diz-se nesse caso, que os números 6, 8, 9, 12, nessa ordem, formam uma proporção. Daí percebe-se que proporção é a igualdade de duas razões.
Os números 6, 8, 9, 12 são chamados termos da proporção, onde o primeiro e o quarto termos chamam-se extremos; o segundo e o terceiro meios.

Propriedade fundamental das proporções
Nas razões iguais, o produto dos extremos deve ser igual ao produto dos meios ou vice-versa. Ou seja,


Resolução de uma proporção quando um dos termos é desconhecido
Resolver uma proporção é determinar o valor de X (termo desconhecido) para o qual a igualdade é verdadeira.

Algumas observações:
1. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo) termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto) termo. Assim,

2. Em toda proporção, a soma do antecedente está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente. Assim,

Exercícios

1) Sabendo que os números 6,24, 5 e o X formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de X.

2) Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m² de área?

3) A soma de dois números é 55. O maior deles está para 07 assim como o menor está para 04. Quais são esses dois números?

4) Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?


5) Tenho 20 anos e 1,80 m de altura.
a) Quando dobrar minha idade, passando a ter 40 anos, terei dobrado também minha altura?

b) As grandezas idade e altura formam uma proporção?

6) Laura vai a pé para escola. A cada quatro passos que dá, percorre três metros.
a) As grandezas número de passos e distância formam uma proporção? Por quê?
b) Quantos metros Laura terá andado após dar 40 passos?
c) Para que percorra 120 m, que é a distância até a escola, quantos passos Laura precisa dar?

7) As medidas do desenho foram ampliadas proporcionalmente. Quanto é a altura do barco maior?

8) Veja a seguinte receita e resolva o problema a seguir:

PUDIM DE CHOCOLATE
INGREDIENTES:
1 colher sopa de manteiga
4 gemas
6 colheres de sopa de chocolate
1 lata de leite condensado (400 g)
1 copo de leite (300ml)

PREPARO:
Bater ligeiramente no liquidificador todos os ingredientes.
Cozinhar em banho-maria na forma caramelada por 50 minutos.
Levar ao refrigerador.
Desenformar na hora de servir.
Observação: receita para 12 porções

PROBLEMA:
Estamos programando um churrasco para domingo, cuja sobremesa será pudim de chocolate. Foram convidadas 12 pessoas.
Na sexta-feira fomos avisados que viriam 30 convidados.
· Faça uma lista dos ingredientes necessários para fazer sobremesa para todos.
· Quantos pudins seriam necessários?
· Haveria repetição para alguns convidados? Quantos?
Comparar as quantidades de cada ingrediente da receita dada com a nova receita. O que pode ser observado? Há alguma relação entre estes valores? Ela pode ser escrita em forma de fração?
Caso não tenhamos sido avisados, o que fazer se vierem 18 convidados e quisermos servir sobremesa para todos, tendo apenas um pudim? Que fração do pudim representaria cada pedaço.
Calcular a quantidade de cada ingrediente para fazer um pudim maior que servisse 18 pessoas com porções idênticas à receita original.