Porcentagem - Teoria e exercicios

Porcentagem

A palavra porcentagem ou percentagem vem do latim – per e cento – e significa por um cento. Ao que parece, o símbolo % foi usada por um comerciante inglês do século XVII, para registrar os cálculos que efetuava em suas operações comerciais.
Denomina-se porcentagem a medida da razão que apresenta como base o número 100 (razão centesimal). Isto é, toda razão a : b, na qual b= 100 pode ser escrita na forma de taxa percentual, utilizando o símbolo %.
Assim, admitindo a razão 2 : 5, podemos transformá-la em centesimal de um método fácil: achando a sua forma decimal (dividindo o numerador pelo denominador), e multiplicando-a por 100. Veja:

0,4 . 100 = 40% (forma porcentual)

Desse modo a razão centesimal 40 para 100 é equivalente a expressão 40 por cento e pode ser representada por 40% (forma porcentual).

Exemplos
1. Maria juntou 45% do seu salário, que é de R$ 900. Quanto de dinheiro Maria juntou?

Assim, Maria juntou R$ 405,00.

2. Numa pesquisa, foram entrevistadas 100 pessoas. Perguntadas sobre seu esporte preferido, responderam conforme a tabela abaixo:

Representar o percentual de preferência de cada esporte
a. Nos diagramas quadriculados
b. Na forma fracionária
c. Na forma decimal

Considerando a mesma pesquisa, responder:
Se das 100 pessoas entrevistadas, 60 forem homens e 40 forem mulheres, e se todos os homens escolherem futebol, quantas mulheres escolherão cada um dos outros esportes?

Represente os resultados obtidos na forma de fração e na forma percentual em relação ao número de mulheres entrevistadas.

Exercícios
1) Um fichário tem 25 fichas numeradas. Sabe-se que 13 dessas fichas têm números ímpares e as fichas restantes têm números pares. Nessas condições, as fichas que têm números pares representam quantos por cento das fichas numeradas do fichário?

2) Quanto vai custar um casaco cujo preço era de 65 reais e teve um aumento de 12%?
3) Uma TV de plasma que custava R$ 1.200 passou a custar R$ 900 durante uma promoção. Qual foi a porcentagem de desconto da TV?

4) Na papelaria da esquina estão dando um desconto especial de 15% para os alunos da minha escola. Fiz umas compras para o clubinho de ciências e gastei 153 reais. Qual seria o preço da compra sem o desconto?

5) Um corretor de imóveis recebe 6% de comissão nas vendas que realiza. Qual foi sua comissão em uma venda de R$ 60 000,00?

6) Uma financeira cobra multa de 11% ao mês em caso de conta paga com atraso. Qual deverá ser o valor cobrado por uma conta de R$ 7 500,00, vencida há um mês?

7) Um posto de gasolina oferece um desconto de 2% se o cliente completar o tanque. Se o total gasto for de R$ 85, 00, qual será o valor pago com desconto?

8) Das 15 crianças que foram acampar 10 são meninas. Qual é a porcentagem de meninas em relação ao número total de crianças?

9) Em uma trilha de 12 quilômetros, os alunos percorreram 9,6km. Qual foi a porcentagem percorrida desta trilha?

Proporções - Teoria e exercícios

Proporção

A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6:3::8:4. Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se:

Nesse caso, a, b, c e d são chamados de termos da proporção.

Exemplo:
Consideremos os números 6, 8, 9, 12, vemos que a razão do primeiro para o segundo (6 : 8) e a razão do terceiro para o quarto (9 : 12) são iguais. Logo, pode-se escrever:

Diz-se nesse caso, que os números 6, 8, 9, 12, nessa ordem, formam uma proporção. Daí percebe-se que proporção é a igualdade de duas razões.
Os números 6, 8, 9, 12 são chamados termos da proporção, onde o primeiro e o quarto termos chamam-se extremos; o segundo e o terceiro meios.

Propriedade fundamental das proporções
Nas razões iguais, o produto dos extremos deve ser igual ao produto dos meios ou vice-versa. Ou seja,


Resolução de uma proporção quando um dos termos é desconhecido
Resolver uma proporção é determinar o valor de X (termo desconhecido) para o qual a igualdade é verdadeira.

Algumas observações:
1. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo) termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto) termo. Assim,

2. Em toda proporção, a soma do antecedente está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente. Assim,

Exercícios

1) Sabendo que os números 6,24, 5 e o X formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de X.

2) Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m² de área?

3) A soma de dois números é 55. O maior deles está para 07 assim como o menor está para 04. Quais são esses dois números?

4) Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?


5) Tenho 20 anos e 1,80 m de altura.
a) Quando dobrar minha idade, passando a ter 40 anos, terei dobrado também minha altura?

b) As grandezas idade e altura formam uma proporção?

6) Laura vai a pé para escola. A cada quatro passos que dá, percorre três metros.
a) As grandezas número de passos e distância formam uma proporção? Por quê?
b) Quantos metros Laura terá andado após dar 40 passos?
c) Para que percorra 120 m, que é a distância até a escola, quantos passos Laura precisa dar?

7) As medidas do desenho foram ampliadas proporcionalmente. Quanto é a altura do barco maior?

8) Veja a seguinte receita e resolva o problema a seguir:

PUDIM DE CHOCOLATE
INGREDIENTES:
1 colher sopa de manteiga
4 gemas
6 colheres de sopa de chocolate
1 lata de leite condensado (400 g)
1 copo de leite (300ml)

PREPARO:
Bater ligeiramente no liquidificador todos os ingredientes.
Cozinhar em banho-maria na forma caramelada por 50 minutos.
Levar ao refrigerador.
Desenformar na hora de servir.
Observação: receita para 12 porções

PROBLEMA:
Estamos programando um churrasco para domingo, cuja sobremesa será pudim de chocolate. Foram convidadas 12 pessoas.
Na sexta-feira fomos avisados que viriam 30 convidados.
· Faça uma lista dos ingredientes necessários para fazer sobremesa para todos.
· Quantos pudins seriam necessários?
· Haveria repetição para alguns convidados? Quantos?
Comparar as quantidades de cada ingrediente da receita dada com a nova receita. O que pode ser observado? Há alguma relação entre estes valores? Ela pode ser escrita em forma de fração?
Caso não tenhamos sido avisados, o que fazer se vierem 18 convidados e quisermos servir sobremesa para todos, tendo apenas um pudim? Que fração do pudim representaria cada pedaço.
Calcular a quantidade de cada ingrediente para fazer um pudim maior que servisse 18 pessoas com porções idênticas à receita original.

Exercícios sobre razões

1) Em certa cidade há 1 carro para cada 4 moradores.
a) Escreva a razão entre o número de carros e o de moradores.
b) Quantas vezes o número de moradores dessa cidade é maior que o de carros?
c) Se o total de carros da cidade é de 42.000, qual é o número de moradores?

2) No mês passado choveu demais. Foram 2 dias de chuva para 1 dia de sol.
a) Se o mês teve 30 dias, quantos foram os dias de chuva?
b) Qual é a razão entre o número de dias de chuva e o número de dias do mês?

3) Dos 800 alunos de uma escola, 480 são meninos e o restante são meninas. Escreva a razão entre o número de:
a) Meninos e meninas.
b) Meninas e o total de alunos.
c) Meninos e o total de alunos.

4) A distância entre Porto Alegre e Curitiba é de 1.140 km. Qual a velocidade média de um ônibus que faz esse percurso em 15 horas?

5) Veja o mapa de uma parte do Brasil. A escala adotada para desenhá-lo foi 1cm:135 km.

Usando uma régua podemos saber as distâncias aproximadas entre duas cidades do mapa. Se a régua indica 7,5cm, na realidade o valor aproximado dessa distância é?

6) O quadro seguinte apresenta o número aproximado de habitantes e a área, em quilômetros quadrados, de cada uma das grandes regiões brasileiras (1980/1990). Determine, então, a densidade demográfica de cada região:

7) Veja a planta de uma casa que um arquiteto está projetando na escala de 1:100:



a) Quais são as medidas da largura e do comprimento da sala?
b) Qual é a área da sala em metros quadrados?
c) E a área total da casa em metros quadrados?


8) Se um veículo se deslocar com uma velocidade média de 95 km/h, quantos quilômetros ele irá percorre em:
a) 1 hora?
b) 2 horas?

9) A miniatura de um carro de corrida é construída na escala 1cm : 20cm e fica com as medidas dadas no desenho:

a) Quais são as medidas reais do automóvel?
b) Como a escala foi 1: 20, 20 dessas miniaturas ocuparão o mesmo espaço que um carro real?

Razões - Teoria

Razão

Trata-se de um conceito antigo e essencial para o conhecimento matemático que, a princípio, é usado para comparar duas quantidades ou duas medidas. Na sociedade moderna, o conceito de razão surge nos jornais e nas revistas para comunicar a concentração de pessoas em uma determinada cidade ou o fluxo de carros em um pedágio. Aparece também nas mais variadas áreas do conhecimento, sempre para melhorar a comparação de vários dados de um problema.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa “divisão”, isto é, razão é o quociente entre dois números. Assim, razão de um número a para um número, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a : b. O número a é chamado antecedente e o número b é chamado conseqüente. Podemos ler a razão como: a razão de a está para b, ou a está para b, ou a para b.

Razões especiais
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala e densidade demográfica. Outra razão que já foi muito usada nas artes e que ainda a utilizamos, é a áurea.
A razao áurea também é chamada de razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão. É freqüente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi, quociente da divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu respectivo diâmetro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.
A velocidade média é uma razão muito importante para sabermos a eficiência dos transportes. Qual é a velocidade média do metrô? Qual é a velocidade média de um ônibus? Se a preocupação nesses deslocamentos for o consumo de gasolina, mudará a informação, mas o conceito de razão permanecerá.
Outra aplicação da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Usamos escala, quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Já a concentração de pessoas em uma cidade, que é definida como densidade demográfica, é a razão da quantidade de pessoas que moram nessa cidade em relação à área.

Velocidade média
Denomina-se velocidade média de algum corpo a razão entre a distância total percorrida pelo veículo e o tempo por ele gasto para percorrê-la.

Exemplos:
1. Um trem percorreu uma distância de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem nesse percurso?

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 75,5 km

2. Moacir fez o percurso Rio - São Paulo (450 km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.



Escala
Define-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerada no desenho e o correspondente ao comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Exemplos
1. Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3 cm e, sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30 km, qual a escala utilizada no mapa?



A escala de 1: 1000000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 1000000 cm no real, ou seja, a 10 km no real.

2. Um edifício tem 30m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15cm. Qual foi a escala usada nesse projeto?

A escala de 1: 200 significa que 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no real, ou seja, a 2m no real.

Densidade demográfica
Atribui-se densidade demográfica de uma região como a razão entre o número de seus habitantes e a área ocupada pela região. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado da mesma.

Exemplos:
1. O estado de Tocantins ocupa uma área aproximada de 280000 km². De acordo com o censo realizado em 2000, o estado de Tocantins tinha uma população, aproximada, de 920000 habitantes. Qual era, então, a densidade demográfica desse Estado?

Portanto, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 3,2 hab/km², aproximadamente.

2. O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a densidade demográfica desse Estado:

Isso significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.